Diciembre

CLASE N° 12

Viernes, 02/Dic/ 2016

Derivadas Parciales

Si f es una función de dos variables sus derivadas parciales son las funciones fx, fy definidas por:

Observaciones:

•  Cuando derivamos parcialmente con respecto a "x" la variable "y" se asume como constante.

• Cuando derivamos parcialmente con respecto a "y" la variable "x" se asume como constante.

• Se aplican todas las reglas de derivación de las funciones de una sola variable.

Interpretación geométrica de las derivadas parciales

Derivada parcial con respecto a "X"

La interpretación geométrica de la derivada parcial con respecto a "x" es la pendiente de la recta tangente en un punto (x,y) cuando x es constante.

Derivada parcial con respecto a "Y"

La interpretación geométrica de la derivada parcial con respecto a "y" es la pendiente de la recta tangente en un punto (x, y) cuando y es constante. 

•  Las derivadas parciales de z=f(x,y) representan las RAZONES DE CAMBIO de la variable z, cuando "x" varía manteniendo fija "y" en el otro caso la razón de cambio z cuando "y" varía manteniendo fija "x".
• Se puede hablar de tasas o índices de cambio.

Derivadas de orden superior

Derivadas Parciales de Segundo Orden

Si f es una función  de dos variables, entonces fx y fy son funciones de dos variables de modo que se consideran sus derivadas parciales (fx)x, (fx)y, (fy)y, (fy)x que se llamas segundas derivadas parciales.

 

• Si f(x, y) es continua, entonces:

• Si: , entonces se la conoce como: ECUACIÓN DE LAPLACE.
• Si una función f(x, y) satisface la Ecuación de Laplace, se dice que f es FUNCIÓN ARMÓNICA. 

CLASE N° 13
Martes, 13/Dic/ 2016 

Regla de la cadena 

•  En R2:

Si y=f(x) y x=g(t) donde f y g son funciones diferenciables, entonces y es indirectamente una función diferenciable de t.

 

• En R3: 

Suponiendo que z=f(x,y) es una función de x y y diferenciable donde x=g(t) y y=h(t) son funciones de t diferenciables. Entonces z es una función de t diferenciable.

Suponiendo que z=f(x,y) es una función diferenciable de x y y donde x=g(s,t) y y=h(s,t) son funciones diferenciables de s y t entonces:

Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1 x2 . . . , xn y cada xj es una función diferenciable de las m variables t1 t2 . . . , tm. Entonces u es una función de t1 t2 . . . , tm.

Ejemplo: Exprese la regla de la cadena para el caso donde w = f(x, y, z, t) y x=x( u, v) y=y( u,v)     z= z( u, v)  t= t( u, v)

Estrategia: Usando el diagrama de árbol se pueden escribir las expresiones necesarias.

 

Solución:

Derivadas Direccionales

La derivada direccional es aquella que permite calcular la razón de cambio de una función de dos o mas variables en cualquier dirección.

La derivada direccional de f en (xo,yo) en la dirección u=(a,b) es:

Teorema: si f es una función diferenciable en 'x' y 'y',  entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de un vector unitario u=(a,b):

La derivada direccional también se puede escribir como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto se denomina gradiente de f.

 Vector Gradiente

Si f es una función de dos variables 'x' y 'y' entonces el gradiente de f es la función vectorial

 definida por:

CLASE N° 14
Viernes, 16/Dic/ 2016

 Planos Tangentes y Aproximaciones

Suponiendo que f sea continua y tenga derivadas parciales , una ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P=(Xo,Yo,Zo) es:

• Es necesario que las derivadas parciales de la funcion sean continuas.
• T1 y T2 son las rectas tangentes a C1 y C2 respectivamente.
• Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
• Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
• Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto P(Xo,Yo,Zo) de la superficie viene definido por:

CLASE N° 15
Martes, 20/Dic/ 2016

Incrementos y Diferenciales

La diferencial dz también conocida como diferencial total se define como:

 La siguiente figura es el equivalente tridimensional de la figura anteriormente expuesta y en esta se muestra la interpretación geométrica de la diferencial dz y el incremento. El diferencial representa el cambio en la altura del plano tangente y el incremento representa el cambio en la altura de la superficie.

• Existen incrementos parciales e incrementos totales el incremento total nos arroja un valor exacto mientras que los parciales son valores incompletos .

• El incremento de la función f es un valor exacto y real.
• Los diferenciales son valores aproximados.
• La gran diferencia entre el cálculo con incrementos y el cálculo con derivadas es únicamente la cantidad de pasos, ya que se llegara a lo mismo y al mismo valor.
• Recordar que diferenciar no es lo mismo que derivar.

Aproximaciones Lineales