Enero

CLASE N° 16

Martes, 03/Ene/ 2017

Máximos y Mínimos

Definición:

• Si: f(x,y)≤ f(a,b), cuando (x,y) está cerca de (a,b). El valor f(a,b) recibe el nombre de máximo relativo (MR).
• Si f(x,y)≥ f(a,b), cuando (x,y) está cerca de (a,b). El valor f(a,b) recibe el nombre de mínimo relativo (mR).
• Un punto de silla son puntos donde la f(x,y) presenta un MR con respecto a la una variable y un mR con respecto a la otra, a la vez.

Criterio de la segunda derivada:

Suponga que las segundas derivadas parciales de f(x,y) existen y son continuas en un disco de centro (a,b) y suponga que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0 es decir (a,b) es un punto critico de f(x,y) sea:

Para aplicar el criterio de la segunda derivada: 

• Hallar las derivadas parciales de f con respecto a x y a y.
• Igualar a cero las derivadas parciales encontradas anteriormente y encontrar los puntos críticos.
• Hallar las derivadas parciales de segundo orden Fxx; Fxy; Fyy.
• Determinar cada segunda derivada en los puntos críticos.

Máximos y Mínimos absolutos

Si f es continua y diferenciable en un conjunto D cerrado y acotado en R entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f(x2,y2), (x1,y1) y (x2,y2) puntos estacionarios o puntos de frontera del conjunto  D.

Para determinar los extremos absolutos:

1.- Calculan los valores de f en los puntos críticos de f en D.

2.- Se determinan los valores extremos de f en la frontera de D

3.- El valor mas grande es el máximo absoluto (Mabs) y el valor mas pequeño es el mínimo absoluto (mabs)

CLASE N° 17

Martes, 06/Ene/ 2017

Máximos y Mínimos Condicionados

MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

Se denomina extremo condicionada de una función f(x,y), al valor máximo o mínimo de esta función alcanzado con la condición (restricción) de que las variables independientes estén relacionadas con una ecuación de enlace: g(x,y)=0.

Para hallar estos extremos condicionados debemos formar una FUNCIÓN DE LAGRANGE:

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

Donde: λ-> Multiplicador de Lagrange parámetro constante indeterminado.

Después se procede a derivar parcialmente la función de Lagrange con respecto a "x", "y" y "ƛ".

CLASE N° 18

Martes, 10/Ene/ 2017

Integrales Múltiples

• En R^2:

•  En R^3:

   * INTEGRAL DOBLE*

  

• En R^4:

   * INTEGRAL TRIPLE*

-Las INTEGRALES MÚLTIPLES se utilizan en muchas aplicaciones en áreas de las ciencias de la ingeniería: áreas, volúmenes, masas, centros de masa, promedios, etc.

-Si f(x, y) es positiva en la región R, entonces la integral da una aproximación del volumen del solido acotado por la superficie z=f(x, y) y el plano XOY.
-Si f(x, y) es continua en la región cerrada R, entonces f es integrable en R.


Tipos de Regiones de Integración.
i) Regiones Rectangulares. 

                                           

-En este tipo de regiones tienen la forma de un rectángulo, es decir  tanto el eje x como en  el eje y  la región esta limitada por constantes,  consecuentemente los límites serán constantes.

- Este tipo de regiones se llaman integrales iteradas(TEOREMA DE FUBINI) y se pueden cambiar el orden de los diferenciales sin afectar a la integral,  pero solamente si son rectangulares.

ii) Regiones más generales.

*Región verticalmente simple*

*Región horizontalmente simple*

CLASE N° 19

Viernes, 13/Ene/ 2017

TRANSFORMACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES.

i) Coordenadas rectangulares a Coordenadas polares.

ii) Coordenadas rectangulares a Coordenadas cilíndricas. 

iii) Coordenadas rectangulares a Coordenadas esféricas.

|J|= ρ²sen(φ)

CLASE N° 20

Martes, 17/Ene/ 2017

Jacobiano de Transformación

CLASE N° 21

Viernes, 20/Ene/ 2017

Ejercicios de Aplicación: Integrales Múltiples

CLASE N° 22

Martes, 24/Ene/ 2017

Aplicaciones de las Integrales Múltiples

CENTRO DE MASA

Centro de masa es el punto donde se considera se concentra toda la masa de un cuerpo.

1. Caso Discreto:

Se da cuando se tiene una masa puntual, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente.

2. Si es un caso donde hay "n" masas:

En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumatoria.

3. Caso Continuo:

Cuando el número de masas tiende al infinito.

a) Distribución de masa lineal

Cuando se tiene un cuerpo con una sola dimensión, se puede definir la siguiente igualdad:

b) Distribución de masa superficial

Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:

c) Distribución de masa volumétrica

Cuando se tiene un cuerpo solido de 3 dimensiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:

CLASE N° 23

Viernes, 27/Ene/ 2017

MOMENTO DE INERCIA

Para masas puntuales:

Para masas continuas:

Ejercicios de Aplicación: Centros de Masa y Momentos de Inercia

CLASE N° 24

Martes, 31/Ene/ 2017

Campos Vectoriales

- Sirven para representar fenómenos naturales tales como:

• Rapidez y aceleración del viento.
• Magnitud del campo gravitacional de diferentes lugares sobre la superficie terrestre.
• Flujo del viento alrededor de alerones de aviones.
• Flujo de corrientes marinas.

- En general un campo vectorial es una funcion cuyo dominio es un conjunto de puntos de R² o R³, y cuyo rango es un conjunto de vectores enV² o V³.

-Sea D un conjunto en R², una región plana. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x, y ) en D un vector bidimensional F( x, y ).

 F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j

-Sea E un subconjunto de R³. Un campo vectorial sobre R³ es una función F que asigna a cada punto (x, y, z ) en E un vector tridimensional F( x, y, z ).

F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k

• Para analizar la continuidad del campo vectorial F, se debe analizar la continuidad de las componentes del campo. 

Campos Vectoriales Conservativos

- Son campos que aparecen en numerosas aplicaciones tales como electricidad, magnetismo. En este caso el campo vetoriales definido en términos del gradiente de un campo escalr f(x, y, z):

F(x, y)=(fx, fy)=Grad f(x, y)

F(x, y, z)=(fx, fy, fz)=Grad f(x, y, z)

*Los campos vectoriales son diferentes de las funciones vectoriales.*

- A los campos vectoriales conservativos se los denomina también campos gradientes.

- Un campo vectorial F se denomina conservativo si es el gradiente de alguna función escalar. En este caso la función escalar f recibe el nombre de FUNCIÓN POTENCIAL  de F.

-DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE CAMPOS VECTORIALES

• Divergencia

v=F(x, y, z)=(P, Q, R)

• Rotacional